Kalkulus 1

2.4
Fungsi Invers

Definisi 2.4.1.

Jika dua fungsi $f$ dan $g$ memenuhi dua sifat berikut: $$(g\circ f)(x)=x,\quad \text{untuk setiap}\quad x\in\mathcal{D}(f)$$ $$(f\circ g)(y)=y, \quad \text{untuk setiap}\quad y\in\mathcal{D}(g)$$ maka dikatakan $f$ sebagai invers dari $g$, dan $g$ sebagai invers dari $f$, atau $f$ dan $g$ fungsi-fungsi invers. Invers dari fungsi $f(x)$ dinotasikan dengan $f^{-1}(x)$.

Teorema 2.4.1.

Jika suatu persamaan $y=f(x)$ dapat diselesaikan untuk $x$ sebagai fungsi dari $y$, misal $x=g(y)$, maka $f$ mempunyai invers dan invers tersebut adalah $g(y)=f^{-1}(y)$.

Berikut ini adalah langkah-langkah mendapatkan invers dari fungsi $f$.

Tulis persamaan $y=f(x)$.
Jika memungkinkan, ubah persamaan tersebut untuk $x$ sebagai fungsi dari $y$.
Persamaan yang dihasilkan adalah $x=f^{-1}(y)$, yang merupakan rumus untuk $f^{-1}$ dengan peubah bebas $y$.
Jika dikehendaki $x$ sebagai peubah bebasnya, maka tukarkan $x$ dan $y$ dalam persamaan $x=f^{-1}(y)$ untuk mendapatkan $y=f^{-1}(x)$.

Teorema 2.4.2.

Suatu fungsi mempunyai invers jika dan hanya jika fungsi tersebut satu-satu.

Teorema 2.4.3.

Suatu fungsi $f$ mempunyai invers jika dan hanya jika perpotongan sebarang garis horizontal dengan grafik $y=f(x)$ tidak lebih dari satu titik.

Teorema 2.4.4.

Jika $f$ mempunyai invers, maka grafik $y=f(x)$ dan $y=f^{-1}(x)$ merupakan pencerminan yang satu dari yang lain terhadap garis $y=x$.

Contoh 1 (ETS 2023/2024)

Diberikan fungsi sebagai berikut: $$f(x)=-\frac{2}{x+3};\quad \text{dan} \quad g(x)=\frac{3x+2}{x+2}.$$ Apakah kedua fungsi tersebut saling invers? Jelaskan alasannya.

Pembahasan

Fungsi $f(x)$ akan terdefinisi ketika $x+3\neq0\implies x\neq-3$ dan $g(x)$ akan terdefinisi ketika $x+2\neq0\implies x\neq-2$. Diperoleh domain fungsi $f$ dan $g$ adalah sebagai berikut. $$\mathcal{D}(f)=\{x|x\in\R,x\neq-3\}=(-\infty,+\infty)\backslash \{-3\}$$ $$\mathcal{D}(g)=\{x|x\in\R,x\neq2\}=(-\infty,+\infty)\backslash \{2\}$$ Perhatikan fungsi komposisi berikut. \begin{align*} (g\circ f)(x)&=g(f(x))\\ &=g\left(-\frac{2}{x+3}\right)\\ &=\frac{3\left(\displaystyle-\frac{2}{x+3}\right)+2}{\left(\displaystyle-\frac{2}{x+3}\right)+2}\\ &=\frac{\displaystyle\frac{-6+2(x+3)}{x+3}}{\displaystyle\frac{-2+2(x+2)}{x+3}}\\ &= \frac{-6+2x+6}{-2+2x+4}\\ &=\frac{2x}{2x+2}\\ (g\circ f)(x)&=\frac{x}{x+1} \end{align*} Terliht bahwa $(g\circ f)(x)\neq x$ untuk $x\in\mathcal{D}(f)$ sehingga kedua fungsi tersebut tidak memenuhi definisi fungsi invers atau dengan kata lain kedua fungsi tersebut tidak saling invers.

Contoh 2 (ETS 2023/2024)

Diketahui $f(x)=\sqrt{4-x^2}$. Definisikan domain $f(x)$ agar $f^{-1}(x)$ ada.

Pembahasan

Dengan menggunakan konsep persamaan lingkaran pada subbab 1.5, diketahui bahwa $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ memiliki grafik berupa bagian atas dari lingkaran berjari-jari $2$ dan bertitik pusat $(0,0)$. Selain itu, diketahui pula domain dari fungsi $f$. $$\mathcal{D}(f)=\{x|-2\leq x\leq 2,x\in\R\}=[-2,2]$$ Dari grafiknya, fungsi tersebut tidak memiliki invers karena ketika terdapat garis horizontal yang memotong grafik pada $2$ titik. Agar $f$ memiliki invers, kita dapat memangkas domainnya agar perpotongan sebarang garis horizontal dengan grafik $f$ tidak lebih dari $1$ titik. Domain tersebut misalnya $[-2,0]$ dan $[0,2]$.

Contoh 3 (ETS 2023/2024)

Diberikan $f(x)=-1+\sqrt{x-2}$. Sketsa grafik $f(x)$ dan $f^{-1}(x)$ pada satu bidang koordinat.

Pembahasan

Dengan menggunakan konsep translasi grafik fungsi pada subbab sebelumnya, diketahui fungsi $f$ memiliki bentuk kurva dasar $y=\sqrt{x}$ (bentuk kurva dasar tersebut telah disebutkan pada subbab 1.4) yang digeser ke kanan sejauh $2$ satuan dan ke bawah sejauh $1$ satuan. Dilihat dari bentuknya, fungsi $f$ memiliki invers karena perpotongan antara sebarang garis horizontal dan grafik $f$ tidak lebih dari $1$ titik. Invers dari $f$, dinotasikan dengan $f^{-1}$ memiliki grafik yang merupakan pencerminan dari grafik $f$ terhadap garis $y=x$. Dengan demikian, sketsa fungsi $f$ dan $f^{-1}$ pada satu bidang adalah sebagai berikut. Gambar 2.4.1

Latihan!

ETS 2021/2022

Diberikan suatu fungsi $$f(x)=2x^2+8x-2,\quad x\geq0$$

Dapatkan range dari $f(x)$.
Dapatkan $f^{-1}(x)$ dan domainnya.

Jawab:

Lihat Solusi

$f(x)$ merupakan fungsi kuadrat dengan $a=2$, $b=8$, dan $c=-2$. Karena $a>0$, grafik $f$ terbuka ke atas. Perhatikan perhitungan berikut. $$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2(2)}=-\frac{8}{4}=-2$$ $$f(-2)=2(-2)^2+8(-2)-2=2(4)-16-2=8-18=-10$$ Terlihat bahwa $f$ memiliki titik puncak pada $(-2,-10)$ sehingga seharusnya range dari $f$ adalah $[-10,+\infty)$. Namun, domain $f$ didefinisikan untuk $x\geq0$ dan $f(0)=2(0)^2+8(0)-2=-2$ sehingga range dari $f$ untuk $x\geq0$ adalah $[-2,+\infty)$.
Dari poin $(a)$, diperoleh bahwa $f$ merupakan fungsi kuadrat yang grafiknya terbuka ke atas sehingga $f$ tidak memiliki invers karena terdapat garis horizontal yang memotong grafik $f$ pada $2$ titik. Namun untuk $x\geq0$ yang berada di kanan garis simetri $f$ pada $x=-2$, $f$ memiliki invers. Di bawah ini akan diuraikan langkah-langkah untuk memperoleh invers dari $f$. \begin{align*} y&=f(x)\\ y&=2x^2+8x-2\\ y&=2(x^2+4x-1)\\ \frac{y}{2}&=(x^2+4x+4)-5\\ \frac{y}{2}&=(x+2)^2-5\\ \frac{y}{2}+5&=(x+2)^2\\ \pm\sqrt{\frac{y}{2}+5}&=x+2\\ x&=-2\pm\sqrt{\frac{y}{2}+5}\\ \end{align*} Salah satu sifat penting untuk suatu fungsi dan inversnya adalah $\mathcal{D}(f)=\mathcal{R}(f^{-1})$ dan $\mathcal{R}(f)=\mathcal{D}(f^{-1})$. Dengan kata lain, domain dari $f^{-1}$ sama dengan range dari $f$, yaitu $[-2,+\infty)$. Oleh karena itu, $f^{-1}$ adalah \begin{align*} x&=-2+\sqrt{\frac{y}{2}+5}\\ f^{-1}(x)&=-2+\sqrt{\frac{x}{2}+5} \end{align*} dimana $\mathcal{D}(f^{-1})=\{x|x\geq-2,x\in\R\}=[-2,+\infty)$.

ETS 2023/2024

Diberikan fungsi $f(x)=(x-1)^3+1$.

Dapatkan $f^{-1}(x)$ beserta domainnya.
Sketsa grafik $f(x)$ dan $f^{-1}(x)$ pada satu bidang koordinat.

Jawab:

2.4 Fungsi Invers

2.4
Fungsi Invers